
Comportement non linéaire synchronisé
dans les écoulements cisaillés
thèse soutenue le jeudi 16 décembre 1999
LADHYX - École polytechnique, Palaiseau
directeur de thèse : Patrick Huerre
Benoît PIER
Cette étude est consacrée aux écoulements qui se mettent
à osciller de façon spontanée. Sans action extérieure, de petites fluctuations aléatoires,
inévitables dans un système physique, sont amplifiées dans
certaines régions. Ces perturbations peuvent croître sur
place ou être emportées par l'écoulement vers l'aval tout en
continuant à se développer. Si l'instabilité du milieu est suffisamment
forte, ces perturbations ne seront jamais évacuées vers l'aval mais
contamineront tout le système. Ces fluctuations puisent leur énergie dans
l'écoulement sous-jacent ; leur amplitude saturera forcément puisque les
ressources disponibles sont limitées. Ce scénario peut
conduire à un comportement désordonné et imprévisible : c'est le
cas des écoulements turbulents. En revanche, une croissance
transitoire des perturbations peut aussi aboutir à un régime stationnaire
où les fluctuations s'installant aux différents endroits sont toutes accordées
à une même fréquence. Une telle synchronisation est le fruit
d'une résonance au sein de l'écoulement.
L'analyse du modèle simplifié de Ginzburg-Landau à
coefficients complexes a permis de dégager deux critères de
sélection de fréquence donnant lieu à deux types de
structures synchronisées :
des modes chapeaux et de modes éléphants.
Les modes chapeaux présentent une enveloppe et un nombre d'onde local
lentement variables sur tout le domaine alors que les modes
éléphants sont caractérisés par un front raide
tourné vers l'amont.
Le critère de sélection des chapeaux repose sur un point-selle
de la relation de dispersion non linéaire locale ; la fréquence
des éléphants, en revanche, est déterminée par le
front qui se situe au bord amont de la région d'instabilité
absolue locale. Ces deux mécanismes de résonance s'excluent
mutuellement : un seul mode est possible dans une situation donnée.
Structures synchronisées non linéaires de type
chapeau et de type éléphant vivant dans l'équation de
Ginzburg-Landau à coefficients complexes lentement variables en espace.
Les techniques et les critères développés dans le cadre
du modèle se généralisent aux écoulements
réels. C'est ainsi que la fréquence de production de tourbillons
dans un sillage (allée tourbillonnaire de Bénard-Kármán)
est correctement prédite par le critère de sélection des
modes éléphants.
L'état de base est un écoulement de type sillage dont
l'évolution spatiale est contrôlée par un gradient de
pression. La faible inhomogénéité spatiale permet de
calculer les propriétés linéaires et non linéaires
locales. C'est à partir de ces caractéristiques locales qu'on
prédit théoriquement la fréquence et la structure spatiale
globales de l'allée tourbillonnaire. Les résultats
théoriques sont en excellent accord avec des simulations
numériques directes.
Allée tourbillonnaire de Bénard-Kármán auto-entretenue dans un sillage
(simulation numérique directe, RE=100)
Visualisation des lignes d'émission: